Interplay between geometry and interaction in many-body physics

Abstract

La sica dei sistemi di molti corpi interagenti e un campo di ricerca molto attivo a causa dei sorprendenti progressi nella realizzazione, controllo e misurazione di tali sistemi, e dell'esistenza di problemi fondamentali ancora aperti. I gas ultrafreddi, che ora e possibile preparare in una variet a di con gurazioni nei laboratori di tutto il mondo, sono emersi come candidati ideali per realizzare simulazioni altamente controllabili della sica della materia condensata [1, 2]. In particolare, e possibile immergere e manipolare in potenziali ottici sia atomi bosonici che fermionici [3]. L'assenza di fononi termici, insieme alla controllabilit a delle interazioni per mezzo delle risonanze di Feschbach [4], ha permesso lo studio dettagliato di una moltitudine di diagrammi di fase di sistemi critici, sia all'equilibrio, sia lontano da esso [5, 6]. Tra tutti i sistemi che e possibile realizzare nel contesto dei gas ultrafreddi, il gas Tonks-Giradeau (TG) merita una menzione speciale [7{12]. Introdotto da Giraedeau in [13], corrisponde ad un un sistema di bosoni impenatrabili (hardcore) e coincide con il limite di interazione in nita del modello Lieb- Liniger [14, 15]. Grazie alla possibilit a di mappare la funzione d'onda di un gas di TG con uno di fermioni non interagenti, e stato possibile studiarne diverse sfaccettature: distribuzione dei momenti [16{20], matrice densit a ridotta [17, 19{28] e propriet a dinamiche non di equilibrio [29{34]. Oltre alla capacit a di ingegnerizzare e sintonizzare l'interazione, una caratteristica particolarmente interessante degli atomi freddi e la possibilit a di manipolare la forma del potenziale esterno, caratteristica essenziale per le simulazioni di sica della materia condensata. In pratica, qualsiasi geometria reticolare pu o essere realizzata con potenziali ottici, ingegnerizzando direzione, lunghezza d'onda, intensit a, polarizzazione e fase del raggio laser. Anche la dimensionalit a del sistema pu o essere modi cata. Ad esempio, partendo da un sistema 3D, un reticolo di sistemi 1D (2D) pu o essere generat da un reticolo ottico 2D (1D). Le dinamiche sulle direzioni indesiderate vengono congelate utilizzando un potenziale di con namento su cientemente forte. Inoltre, l'aggiunta di un nuovo reticolo con frequenza diversa consente la creazione di reticoli doppi periodici, quasi-periodici o random. Da un punto di vista teorico, quando il reticolo principale e su cientemente intenso rispetto all'energia termica, il sistema pu o essere descritto mediante l'approssimazione del legame stretto (tight binding, TB). Essa consiste nel troncare la base Bloch di singola particella alla prima banda, ed espandendere gli operatori di campo nella base di Wannier, che e un insieme di funzioni d'onda di singola particella esponenzialmente localizzate. Molte parti di questa tesi sono focalizzate su sistemi unidimensionali con una geometria quasi-periodica, realizzando quello che e noto come modello di Aubry-Andr e (AAM) [35{44]. Questo e un modello con approssimazione TB che contiene hopping a primi vicini ed energie di sito ottenute da una combinazione di due funzioni periodiche con frequenze incommensurate. Il modello AAM mostra una transizione di fase da metallo ad isolante [35, 36]. L'interazione tra geometria e interazione in sistemi a molti corpi pu o generare una gamma impressionante di fenomeni sici. Ad esempio, lo stato fondamentale di un gas di bosoni interagenti, soggetti ad un potenziale quasiperiodico, mostra un ricco diagramma di fase [45{47], che attraversa fasi di super uido, Bose-glass e isolante di Mott, a seconda del lling, delle interazioni e della forza del potenziale esterno. E interessante notare che una soglia di mobilit a (ME) appare quando un'estensione dell'AAM viene presa in considerazione, includendo nell'hamiltoniana dei termini di hopping pi u a lungo raggio, come i termini a secondi vicini [48,49], o \in niti vicini" [50{52]. La transizione da fase estesa a localizzata dell'AAM, nell'ambito della sica di molti corpi, e stata ampiamente investigata sia da un punto di vista teorico [53{56] che sperimentale [53, 57{63]. Il primo capitolo di questa tesi si occupa principalmente del gas di TG, mostrando come la geometria e l'interazione competano per determinare le propriet a statiche e dinamiche del sistema, come la distribuzione dei momenti e la funzione spettrale. A questo scopo, esso esamina le propriet a dello stato fondamentale del sistema di bosoni fortemente interagenti e dei fermioni non interagenti, immersi in un reticolo bicromatico. Dopo aver descritto in sez. 1.1 il mapping del gas bosonico in fermioni non interagenti, motivando cos la scelta di guardare entrambe le specie, in sez. 1.2.1 e introdotto l'AAM e sono richiamate le sue propriet a di singola particella. Quindi, in sez. 1.2.2 e sez. 1.2.3 sono descritti l'e etto della transizione da metallo ad isolante e l'in uenza della presenza della soglia di mobilit a sullo stato fondamentale del sistema a molti corpi, fermionico e TG. La sez. 1.3 e focalizzata sulla funzione spettrale (SF) del gas di Tonks- Girardeau, che e una quantit a primaria nella sica many-body: contiene informazioni sulla probabilit a di eccitare una particella o una lacuna a seguito di una perturbazione esterna. Inoltre, la SF pu o essere misurata negli esperimenti con gas ultrafreddi mediante spettroscopia di fotoemissione risolta in angolo (ARPES) o spettroscopia Raman stimolata. [64{67]. Tramite la teoria di Luttinger lineare e non lineare [68{74] e possibile studiarne solo alcune propriet a, come il supporto, le non analiticit a e il comportamento asintotico. Al contrario, gli approcci numerici sono spesso troppo esigenti dal punto di vista computazionale. La prima parte della sez. 1.3 mira a sviluppare un algoritmo e ciente per calcolare le funzioni di Green del gas di TG, e quindi la SF, in qualsiasi potenziale spaziale, scrivendole come funzionali in termini delle funzioni d'onda di singola particella. Nella seconda parte, tale metodo viene applicato a un gas di TG in un reticolo (periodico). Si mostra come la presenza del reticolo dia luogo ad alcune nuove non analiticit a, che non hanno analoghi nel corrispondente sistema omogeneo. La seconda parte di questa tesi (cap. 2 e 3) si interessa delle propriet a dinamiche di gas di Fermi interagente e non, in reticoli periodici o quasiperiodici, al ne di rispondere alla stessa domanda della prima parte: cio e di come la competizione tra geometria e interazione si ri etta sulle dinamiche del sistema a molti corpi. Per studiare le propriet a dinamiche di tali sistemi, si fa spesso ricorso al concetto di quantum quench. E un protocollo che prevede che un sistema quantistico, inizialmente preparato in uno stato di equilibrio, venga posto fuori da esso da una perturbazione esterna. In questo modo, alcune propriet a del sistema possono essere studiate osservando le dinamiche generate dall'evoluzione quantistica. Il rilassamento di un sistema quantistico verso l'equilibrio, in seguito ad una perturbazione globale o locale, e stato ampiamente studiato nel recente passato. Tale argomento ha bene ciato dei progressi e delle recenti realizzazioni di sistemi fuori dall'equilibrio negli esperimenti con gas ultrafreddi. Uno dei punti chiave verso la comprensione dinamiche globali e la connessione tra le propriet a a singola particella e quelle a molti corpi. Un esempio rappresentativo e dato dalle fasi many-body localizzate riportate di recente in [75], dove il concetto di localizzazione spesso diventa ambiguo e richiede che siano adottati criteri di erenti per una de nizione signi cativa. Il cap. 2 indaga la dinamica post-quench di un gas di Fermi non interagente, intrappolato da un potenziale ottico periodico in una dimensione. Le recenti realizzazioni di sistemi analoghi a quelli usuali della materia condensata hanno ispirato l'esame dello scenario in cui un'impurezza a due livelli e immersa nel gas, con l'ulteriore condizione che l'interazione tra essa ed il gas si veri chi solo quando la prima si trovi nel suo stato eccitato. Questo set-up, oltre a fornire un modo per introdurre una perturbazione localizzata nello spazio, consente anche la ricostruzione delle dinamiche many-body del gas, tramite l'interferometria Ramsey [76{79]. Lo spettro di singola particella e costituito da bande di energia di larghezza diversa, con gap diverse tra loro, generati dal potenziale di reticolo periodico. Le larghezze di banda e le gap sono naturalmente funzione dell'ampiezza del potenziale del reticolo. In particolare, quando questa ampiezza e su cientemente maggiore di una certa soglia di riferimento, cio e la codidetta recoil energy, lo spazio che separa la prima e la seconda banda e cos ampio che il sistema pu o essere descritto, nel limite termodinamico, mediante gli stati della prima banda solamente. Questa condizione, stabilendo il cosiddetto regime di tight binding (TB), e stata ampiamente documentata in letteratura [2, 80, 81]. Molto meno e noto in tutti gli altri casi, quando una o pi u bande superiori vengono coinvolte nell'evoluzione e la dinamica del sistema pu o essere trattata solo con una descrizione continua (CNT). Quindi, la sez. 2.1 pone l'attenzione su un gas intrappolato da un potenziale di tipo senquadro, e fa a damento sull'equazione di Schr odinger di una particella singola per passare da regimi TB a non TB (CNT), impostando opportunamente la forza del potenziale di reticolo. Le sez. 2.2 - 2.4 esplorano la sica del non equilibrio oltre l'approssimazione discreta. Inoltre, lavorando con una rappresentazione continua, si caratterizzano le transizioni interbanda indotte dal quench, approfondendo la loro dipendenza dalla prima gap di banda, dal potenziale chimico e dall'intensit a sia del potenziale di reticolo che dell'interazione con l'impurezza. Dal punto di vista metodologico, la sez. 2.2 impiega due di erenti strategie: il formalmente esatto functional determinant approach (FD) (sez. 2.2.2), contenuto all'interno del formalismo Levitov [82, 83], e un approccio perturbativo (sez. 2.2.3), che va sotto il nome di linked cluster expansion (LCE). Come primo risultato (sez. 2.3) si mostra che, nel limite di temperatura zero, il decadimento dell'eco nel tempo segue una legge a potenza (sez. 2.3.1) quando la banda ad energia pi u bassa e parzialmente occupata. Questa costituisce la rma della catastrofe di ortogonalit a di Anderson (AOC) [84{86], che d a origine ad una Fermi edge singularity [87, 88] nel dominio delle frequenze. Le caratteristiche essenziali del meccanismo della AOC sono catturate dal secondo ordine della LCE. Questo ci permette inoltre di trovare un'espressione analitica per l'esponente caratteristico del decadimento. In secondo luogo, si esplorano gli e etti di taglia nita, che entrano in gioco entrando per tempi superiori al decadimento della AOC (sez. 2.3.2). Anch'essi sono descritti adeguatamente dalla LCE gi a al secondo ordine. In ne, in sez. 2.4.2, si riporta la soppressione della AOC quando il sistema si avvicina alla con gurazione di isolante, cio e quando le particelle del gas tendono ad occupare completamente i livelli della prima banda. In questo a ascinante caso, il gas risponde alla perturbazione con dei peculiari modi di Fano, che sono chiaramente visibili nello spettro di assorbimento del sistema, calcolato con l'approccio FD. Se ne fornisce un'interpretazione usando il contributo dominante del terzo ordine della LCE. Il cap. 3 riporta come l'evoluzione temporale di un sistema fermionico in un quasicristallo, in presenza di interazione, sia correlata allo spettro di una singola particella e cace. La scoperta dei quasicristalli nel 1982 [89] e dei protocolli per produrre campioni ampi e stabili [90] ha innescato diversi studi teorici volti a comprendere l'origine delle loro propriet a siche insolite.Le loro peculiari caratteristiche di trasporto, come l'aumento della resistivit a al decrescere della temperatura e al crescere della purezza del campione [91], hanno attirato grande attenzione [92]. Ben presto ci si rese conto che questo comportamento fosse strettamente legato alla natura singular continuous (SC) dello spettro di energia di singola particella (SPES), accompagnato da autofunzioni critiche le cui propriet a di scaling possono spiegare l'anomalia del trasporto e della di usione [92]. Prima della scoperta dei materiali quasicristallini, si pensava che l'idea dello spettro SC fosse una pura elucubrazione matematica, senza controparte sica [93]. Infatti la componente SC non e facilmente accessibile e, spesso, la sua presenza e dedotta solamente dopo aver escluso l'esistenza delle componenti assolutamente continue (AC) e discrete (pure point, PP) dall'intero spettro. Il ruolo degli spettri SC nelle dinamiche dei sistemi non interagenti e stato studiato in [94], ed il suo collegamento alla propagazione anomala delle correlazioni e della di usione di un pacchetto di onde inizialmente localizzato e stato studiato in [95, 96]. Un modello sico particolarmente interessante, in cui la natura dello spettro gioca un ruolo cruciale, e il AAM, citato in precedenza. E stato dimostrato che il suo spettro e AC e PP rispettivamente nelle fasi di metallo e di isolante, mentre e puramente SC nel punto di transizione [37, 97]. Tale modello e stato realizzato con atomi ultrafreddi immersi in un reticolo ottico bicromatico [62, 63, 98]. A causa della presenza di interazioni, esso possiede un diagramma di fase non banale [45{47], con la presenza di una soglia di mobilit a [20, 99] e di fase many-body-localized che separa quella ergodica da quella localizzata [63, 98]. I recenti esperimenti [63,98], che riportano l'osservazione del rallentamento della dinamica di un gas interagente immerso in un reticolo bicromatico incommensurato, hanno suggerito di provare a fornire una spiegazione di queste osservazioni basata sulla natura dello spettro di energia a singola particella dell'AAM. Sono stati trovati diversi comportamenti: uno ergodico, a piccoli s con AC SPES, ed uno localizzato, a grandi s e moderatamente piccoli U con PP SPES. Questi due comportamenti estremi sono separati da una regione intermedia, caratterizzata da uno SC SPES, in cui la dinamica e ergodica, ma su scale temporali molto pi u grandi di quelle tipiche di singola particella. Le nostre osservazioni implicano che una concorrenza non banale tra l'ordine indotto dal potenziale e le interazioni many-body sono responsabili di questo comportamento. I risultati di questa tesi sono stati presentati in quattro documenti, il primo dei quali e gi a stato pubblicato, il secondo e attualmente sottomesso ed in stato di revisione, mentre gli altri due sono in preparazione: J. Settino, N. Lo Gullo, A. Sindona, J. Goold and F. Plastina \Signatures of the single-particle mobility edge in the ground-state properties of Tonks-Girardeau and noninteracting Fermi gases in a bichromatic potential." Physical Review A 95, 1{9, 2017 J. Settino, N. W. Talarico, F. Cosco, F. Plastina, S. Maniscalco, and N. Lo Gullo \Disentangling the role of geometry and interaction in many-body system dynamics: the emergence of anomalous dynamics from the underlying singular continuous spectrum." ArXiv:1809.10524, 2018 (submitted to Physical Review Letter ) W.Talarico, J. Settino, F. Plastina, A. Sindona, S. Maniscalco, and N. Lo Gullo \Sudden quench and long time dynamics in an ultracold fermionic gas" (in preparation). J. Settino. N. Lo Gullo, P. Vignolo, F. Plastina, A. Minguzzi \Spectral function of the Tonks-Girardeau gas in a optical lattice" (in preparation)